Download Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische by Michael Joswig, Thorsten Theobald PDF

By Michael Joswig, Thorsten Theobald

In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben. Im ersten Teil werden „klassische“ Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehören beispielsweise Algorithmen zur Berechnung konvexer Hüllen und die Konstruktion von Voronoi-Diagrammen. Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.

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0 0 0 · · · 1 0 ⎠ 0 0 0 ··· 0 1 Die Abbildung [ B] ist keine affine Transformation, statt dessen bildet sie die Fernhyperebene (1 : 0 : · · · : 0) auf die projektive Hyperebene [1 : 1 : · · · : 1] ab, wobei die Koordinatenhyperebenen fest bleiben. Zusätzlich ist das Bild des positiven Orthanten unter der Abbildung [ B] das n-Simplex E1+ ∩ · · · ∩ En+ ∩ [1 : 1 : · · · : 1]+ . Insbesondere ist das Bild [ BT ] P ein beschränktes Polyeder, also ein Polytop. Wir haben den folgenden Satz bewiesen.

Daher ist P◦ volldimensional. Da P zudem eine Kugel B(0, ρ ) enthält, folgt auf analoge Weise, dass P◦ beschränkt ist. 1) zu zeigen. 24. Für die Inklusion „⊇“ betrachten wir einen Punkt y, der nicht in P◦ enthalten ist. Ein beliebiger Punkt x ∈ P lässt sich als Konvexkombination ∑ki=1 λ(i) v(i) von Ecken von P schreiben. Offenbar gilt dann x, y = k ∑ λ( i ) i =1 v(i), y ≤ max v(i), y : 1 ≤ i ≤ k , wobei sich die letze Gleichung aus ∑ki=1 λ(i) = 1 ergibt. Falls nun x, y > 1 ist, dann muss folglich auch eine Ecke v(i) existieren mit v(i), y > 1.

Die bekannteste solche Auswahlregel („Pivotregel“) ist die Regel von Bland. Hierbei werden in den Schritten 5 und 9 die Indizes i und j im Falle mehrerer Möglichkeiten jeweils kleinstmöglich gewählt. 2 beschreibt das Simplexverfahren mit der Pivotregel von Bland. 2. 23 Der Simplex-Algorithmus terminiert nach höchstens (m n ) Iterationen. 22. Der Beweis ist zwar elementar, aber trickreich. Beweis. Seien I (k) und v(k) die Indexmenge I bzw. die Ecke v in der k-ten Iteration des Simplexalgorithmus.

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